同次変換の利用と３次元

• 行列計算の基礎
• 同次座標行列とは
• 同次座標行列の逐次変換
• 同次座標変換例
• 演習
• 自習

行列計算の基礎

図：ワールド座標系とモデル座標系

同次変換行列

• 平行移動

基準となる座標系から(x,y,z)だけ並行移動して新たなモデル座標系を生成する場合，基準座標系から新しい座標系への同次変換行列Trans(x,y,z)は，



• 回転

基準となる座標系においてx軸を中心に右ねじまわりθ度だけ回転して新たなモデル座標系を生成する場合，基準座標系から新しい座標系への同次変換行列Rot(θ,x)は

同様にy軸，z軸に回転する場合は，


• 拡大，縮小

基準となる座標系においてx,y,z軸方向にそれぞれα，β，γ倍して新たなモデル座標系を生成する場合，基準座標系からモデル座標系への同次変換行列Scale(α，β，γ)は，

となります．このとき，回転成分に0を入れる(0倍する)と行列中の回転成分がおかしくなり，正しく変換されないことに注意しましょう．

同次座標行列の逐次変換

同次座標変換例

演習

• 講義内容と同じ，太陽と地球，月の例で座標変換の演習をおこないます．最終的には図のような映像を作成します．
1. 前回までのプログラムを参考にして，原点にワイヤーフレーム球(半径20)を描いてみましょう．
   ワイヤーフレームの球にはglutWireSphere(double radius,int slices,int stacks)を使用します．radiusは球の半径，slicesは経線数，stacksには緯線数が入ります．経線数は36，緯線数は18程度で構いません
   以下にサンプルを示しておきます．
   void display(void) { glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); glLoadIdentity(); glutWireSphere(20.0, 36, 18); glFlush(); glutSwapBuffers(); } この例では描画の一番最初にglLoadIdentity()を使い，ワールド座標系(単位行列)を読み込んでいます．描画毎に座標系をリセットしていると考えて下さい．
   
   

2. 平行移動の練習をしてみましょう．座標系をx軸方向(向かって右側)に60だけ平行移動して，半径10のワイヤーフレーム球を描いてみます．座標系を平行移動するコマンドはglTranslatef(float x, float y, float z)です．この場合は，平行移動してから地球を描きますので， void display(void) { glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); glLoadIdentity(); glutWireSphere(20.0, 36, 18);/* 太陽 */ glTranslatef(60.0, 0.0, 0.0);/* x軸に60平行移動 */ glutWireSphere(10.0, 36, 18);/* 地球 */ glFlush(); glutSwapBuffers(); } となります．
   
   回転移動は前回にやった通りです．
   
   平行移動，回転移動など座標変換する場合に注意があります．ひとたび座標変換すると，その効果が後ろにずっと続きます．上のプログラムの場合は，glLoadIdentity()で座標系をリセット(単位行列を代入)していますが，これがなくなると描画されるたびにglTranslatefが蓄積していきます．その結果，2つの球はx軸方向にすっ飛んでいきます(該当行をコメントアウトして試してみて下さい)．
   
   座標系を毎回リセットするほかに，ワールド座標系をずっと保管しておく方法もあります．次の例では行列のスタックを使用し，ワールド座標系を保管しています． void display(void) { glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); glutWireSphere(20.0, 36, 18);/* 太陽 */ glPushMatrix();/* ワールド座標系の行列をスタックに入れる */ { glTranslatef(60.0, 0.0, 0.0);/* x軸に60平行移動 */ glutWireSphere(10.0, 36, 18);/* 地球 */ } glPopMatrix();/* ワールド座標系の行列を取り出す */ glFlush(); glutSwapBuffers(); } このglPushMatrix()という関数は，座標変換行列を行列スタック*10にしまっておくという機能があり，glPopMatrix()では行列スタックから座標変換行列を取り出すという機能があります．
   この関数の便利な使い方については後述します．ここでは座標変換行列をとりあえず保管しておくと考えておいて下さい．ただし，glPushMatrix()とglPopMatrix()は対で使用します*11．
   -->
   
   
   
3. 上で表示したものを太陽と地球として，地球を周回させてみましょう．
   
   地球は太陽の周りを半径Re=60の円軌道を描くとします．基準からの回転角度をtheta_ekとして，一回の描画で1度回転するとします．
   描画毎にパラメータを変更する方法はサンプルプログラムにもありましたが，下記を参考にして下さい． void display(void) { static float theta_ek; theta_ek+=1.0; ... } 太陽(ワールド座標)から地球への座標変換は
   
   で表せました．これを参考に作成してみて下さい．
   
   
   
   (例) void display(void) { static float theta_ek; theta_ek+=1.0; glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); glutWireSphere(20.0, 36, 18);/* 太陽 */ glPushMatrix();/* ワールド座標系の行列をスタックに入れる */ { glRotatef(theta_ek, 0.0, 0.0, 1.0);/* z軸周りにtheta_ek度回転 */ glTranslatef(60.0, 0.0, 0.0);/* x軸に60平行移動 */ glutWireSphere(10.0, 36, 18);/* 地球 */ } glPopMatrix();/* ワールド座標系の行列を取り出す */ glFlush(); glutSwapBuffers(); }
4. 地球の周りに月を公転させてみましょう．月は半径5の球で，地球の周りを半径Rm=20の円軌道を描くとします．基準からの回転角度をtheta_mkとして，一回の描画で3度回転するとします．
   
   
   
   (例) void display(void) { static float theta_ek; static float theta_mk; theta_mk+=3.0; theta_ek+=1.0; glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); glutWireSphere(20.0, 36, 18);/* 太陽 */ glPushMatrix();/* ワールド座標系の行列をスタックに入れる */ { glRotatef(theta_ek, 0.0, 0.0, 1.0);/* z軸周りにtheta_ek度回転 */ glTranslatef(60.0, 0.0, 0.0);/* x軸に60平行移動 */ glutWireSphere(10.0, 36, 18);/* 地球 */ glRotatef(theta_mk, 0.0, 0.0, 1.0);/* z軸周りにtheta_mk度回転 */ glTranslatef(20.0, 0.0, 0.0);/* x軸に20平行移動 */ glutWireSphere(5.0, 36, 18);/* 月 */ } glPopMatrix();/* ワールド座標系の行列を取り出す */ glFlush(); glutSwapBuffers(); }
5. 地球をz軸周りに自転させてみましょう． 地球を自転させるには，地球の座標系をさらに回転すればよいことになります．自転の角度パラメータをtheta_eとして，描画毎に5度減少するようにとってみると， ..... static float theta_e; theta_e-=5.0; ..... glRotatef(theta_ek, 0.0, 0.0, 1.0);/* z軸周りにtheta_ek度回転 */ glTranslatef(60.0, 0.0, 0.0);/* x軸に60平行移動 */ glRotatef(theta_e, 0.0, 0.0, 1.0);/* z軸周りにtheta_e度回転 */ glutWireSphere(10.0, 36, 18);/* 地球 */ ..... とすれば良さそうですね．しかし，このまま後続の月を描画しようとすると，地球の自転につられて，月も一緒に回転してしまうことになります．このような場面でglPushMatrix()とglPopMatrix()は威力を発揮します．下の例を見て下さい．
   glPushMatrix();/* ワールド座標系の行列をスタックに入れる */ { glRotatef(theta_ek, 0.0, 0.0, 1.0);/* z軸周りにtheta_ek度回転 */ glTranslatef(60.0, 0.0, 0.0);/* x軸に60平行移動 */ /* ここまでで地球座標系 */ glPushMatrix();/* 地球座標系の行列をスタックに入れる */ { glRotatef(theta_e, 0.0, 0.0, 1.0);/* z軸周りにtheta_e度回転 */ glutWireSphere(10.0, 36, 18);/* 地球 */ } glPopMatrix();/* 地球座標系の行列を取り出す */ glRotatef(theta_mk, 0.0, 0.0, 1.0);/* z軸周りにtheta_mk度回転 */ glTranslatef(20.0, 0.0, 0.0);/* x軸に20平行移動 */ glutWireSphere(5.0, 36, 18);/* 月 */ } glPopMatrix();/* ワールド座標系の行列を取り出す */ 地球座標系の変換行列をglPushMatrix()で保管しておき，glPopMatrix()で再び取り出しています． このように，後ろに影響を及ぼしたくない座標変換(この例では地球の自転)はglPushMatrix()とglPopMatrix()で囲むのがスマートです*12．
   
   

• 映像の見えを変更してみましょう
1. 視点の位置や方向を変更するもっとも簡単な方法はgluLookAt関数を使うことです*13．
   
   gluLookAt(float x,float y, float z,float cx,float cy,float cz,float ux,float uy,float uz)では視点位置を(x,y,z)，注視点位置を(cx,cy,cz)，頭上を表すベクトル(ux,uy,uz)で視点の位置と方向を定めます．
   
   視点の位置を(x,y,z)=(0.0,30.0,10.0)，注視点を(cx,cy,cz)=(0.0,0.0,0.0)，頭上ベクトルを(ux,uy,uz)=(0.0,1.0,0.0)としてみましょう．gluLookAt関数もれっきとした座標変換ですので，前述したようにglLoadIdentity()を使うか，glPushMatrix()とglPopMatrix()を使ってワールド座標系を保護するようにして下さい．
   
   
2. 遠くに行く物体ほど小さく見えるようにするには，正射影変換ではなく透視射影変換をおこないます．現在使用しているのは正射影変換であるglOrtho関数で，これを射影変換をするglFrustum関数に変更します．
   
   この関数の引数はglFrustum(float left,float right,float bottom,float top,float near,float far)となっています．それぞれのパラメータは図に示している通りです．
   
   図:透視射影変換の関数glFrustum(left, right, bottom, top, near, far) [1]より
   例えば，視体積の大きさを glFrustum(-50.0, 50.0, -50.0, 50.0, 30.0, 10000.0); と指定し，視点の位置を gluLookAt(0.0, 100.0, 20.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0); とすると下記のような絵になります．パラメータを変えてみて，どのような効果になるのか考察してみましょう．
   

• 色と奥行き感をつけてみましょう．
1. glColor3f関数を使用して，太陽を赤色，地球を青色，月を黄色にしてみましょう．
   

2. 前後関係がおかしくなっていることに気づいたかと思います．描画が後ろのものが上書きされているような感じですね．これはデプスバッファが有効になっていないことに起因します．
   
   デプスバッファを有効にするには，少しおまじないが必要です．
   
   まずmain()関数の中にある， glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB); を glutInitDisplayMode(GLUT_DEPTH | GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB); に変更します．glutInitDisplayMode()関数ではウインドウの初期化時に表示モードを設定します．ここでは，デプスバッファ，ダブルバッファ*14，RGBモードが有効になっています．
   
   次にinit()関数の中に次の一文を追加して下さい． glEnable(GL_DEPTH_TEST); これはデプスバッファを有効にするコマンドです．
   
   最後にdisplay()関数にある glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); を glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT); に変更して下さい．このコマンドは描画の最初に呼ばれていますが，バッファをクリアするもので，ここではフレームバッファとデプスバッファをクリアしています．
   
   ちなみにフレームバッファのクリア色を設定したい場合はglClearColor(float r,float g,float b,float alpha)で色を指定できます．alpha値は透明度を表すものですが，詳しくは後述します．
   
   
3. ワイヤーフレームでは少し味気ないので，ソリッドモデルに変更してみましょう． glutWireSphereをglutSolidSphereに置き換えます．
   
   
   
   これでも味気ないという向きには，init()関数に glEnable(GL_LIGHTING); glEnable(GL_LIGHT0); glEnable(GL_COLOR_MATERIAL); を加えてみて下さい．これは光源の設定と物体の質感の設定を有効にする関数です．光源と質感については別の回にやります．
   
   

自習問題

1. glutSolidSphere()の代わりにglutSolidTeapot(float size)を使ってみましょう．
2. ここで勉強したOpenGLの関数は，
   
   glLoadIdentity()
   glTranslatef(float x,float y,float z)
   glPushMatrix()
   glPopMatrix()
   glFrustrum(float left,float right,float bottom,float top,float near,float far)
   gluLookAt(float eye_x,float eye_y,float eye_z,float cen_x,float cen_y,float cen_z,float vec_x,float vec_y,float vec_z)
   glutInitDisplayMode(*****)
   glEnable(GL_*****)
   glClear(*****)
   glClearColor(float r,float g,float b,float alpha)
   glutSolidSphere(double radius,int slices,int stacks)
   
   です．赤本を利用して，復習しておきましょう．