真貝寿明 reviews:
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双曲型のEinstein方程式は数値計算を安定化させるのか
reviewed on 2001年5月14日
Preprint.... gr-qc/0105031

Extending the lifetime of 3D black hole computations with a new hyperbolic system of evolution equations
Authors: Lawrence E. Kidder, Mark A. Scheel, Saul A. Teukolsky
gr-qc/0105031, submitted to PRD
[published as PRD 64, 064017 (2001)]

論文内容
Cornell大学の3人の最新の数値相対論論文.ADMに代わるformulationで,安定性のよいものを探す,という目的で,双曲形式の採用の観点から,Schwarzschild時空の発展問題を取り扱った.

前半は,ADMからスタートして,originalの双曲形式構築を議論する.
step 1: metricの一階微分を新変数としてweaklyへ.
step 2: lapseをdensitizedにして,とりあえずstronglyへ.
step 3: 運動方程式の右辺に対してconstraintを加える(パラメータ4個).
step 4: extrinsic curvatureをtrace部分をさらに重畳した新変数へ(パラメータ1個)式(2.44).metricの一階微分新変数をさらに統合した新変数へ(パラメータ6個).式(2.47).これらのパラメータを調整することで,Frittelli-Reula (96) 型,Anderson-York (98)型を含む.

数値計算は,そのうちの一つ,Einstein-Christoffelシステムを選び,ADMとの比較.3次元のSchwarzschildをpseudospectral collocation method (Y_lmとChebyshev 多項式)で発展.ADMではcrashするまでt=30-40Mであったが,Einstein-Christoffelでは,その10倍になった.


Frittelli-Reula (96) 型,Anderson-York (98)型を含むような一般的な議論をすることは,現時点では意味があろう.しかし,そのうちの一例を使った数値計算だけを示して,他を示さないのはいただけない.しかも,彼らのEinstein-Christoffelシステムと,彼らの以前のEinstein-Ricciシステムは計算コードが違う(差分法とspectral method)ので比較できないそうだ.これでは,数値積分法が違うから改善されたのか,双曲性が上がったから安定性が改善されたのか,議論ができないことになる.結果として「ADMより良くなった」以上のメッセージはない.

また,うまくいった計算例にしても,何故改善されたのか,他のパラメータではどうなのか,どのようにパラメータを選んだら良かったのか,記述が全くない.聞くところによると,全くのtrial and errorでうまくいくパラメータを見つけたそうだ.この点に関してはすでにYoneda-Shinkai, gr-qc/0103032 (to appear in PRD)が,constraint propagationの固有値解析で説明可能な場合がある,と主張している.
上記のstep4は,特性項以外の項を相殺するために必要だ,とのことだが,実際の計算で特性項との大きさの比較をしないと,この主張はそのまま信じがたい.これまでの双曲型を統合し,新しいシステムを提案したことは今後有用ではあるが,解析的な考察・言及がなかったのが惜しまれる.

to be clarified
(2.43)式の下で,constraint propagationを議論しているが,constraint propagationの固有値は,dynamical 方程式の固有値のsubsetであり,その双曲性も同じ,と述べているところ.これは一般的に真ではないと思われる.

そもそも「双曲型を陽に持つEinstein方程式」のメリットは,数値計算にどれだけ現れるのか,これは私たちの仕事を含め,今後数年間のうちに精力的に調べなければならない問題である.



added comment on 2002/6/17

上記の,KST形式は,その後,順調に注目されている.コードを持つ著者による,第2論文が,プレプリント サーバに登場した.


Energy Norms and the Stability of the Einstein Evolution Equations
Lee Lindblom, Mark A. Scheel
gr-qc/0206035
abstractは次のようである.
The Einstein evolution equations may be written in a variety of equivalent analytical forms, but numerical solutions of these different formulations display a wide range of growth rates for constraint violations. For symmetric hyperbolic formulations of the equations, an exact expression for the growth rate is derived using an energy norm. This expression agrees with the growth rate determined by numerical solution of the equations. An approximate method for estimating the growth rate is also derived. This estimate can be evaluated algebraically from the initial data, and is shown to exhibit qualitatively the same dependence as the numerically-determined rate on the parameters that specify the formulation of the equations. This simple rate estimate therefore provides a useful tool for finding the most well-behaved forms of the evolution equations.


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