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研究成果報告書

一般相対論に於ける数値計算を安定化させる数学的背景の解明
-- 一般相対論における新しい数値計算手法の開発 --

Several New Approaches to Numerical Simulations in General Relativity

平成14/15年度科学研究費補助金 若手研究(B) 研究課題番号 14740179
平成13/14/15年度理化学研究所 基礎科学特別研究員研究費

平成15年(2003年) 12月


真貝寿明 Hisaaki Shinkai

理化学研究所(計算宇宙物理研究室) 基礎科学特別研究員


  1. 本研究課題の概要

    近年の宇宙観測技術の進歩によって,一般相対論研究には,より定量的で正確な計算が要求されるようになった.ブラックホールや中性子星連星の合体で発生する重力波の波形の計算や,高次元宇宙モデルのもたらす描像を得るためには,非線形なEinstein方程式を直接数値積分することが欠かせない.

    数値相対論研究は,日本を含め世界の各拠点で精力的に進められているが,現在でもその基本的手法が確立していない発展途上の分野である.数年前までは,安定した時間発展が実現できないのはゲージ条件の設定が悪いか計算機能力が不足しているからだと考えられてきた.しかし,最近になって,これまで「標準」として使われていたEinstein方程式の表現方法(Arnowitt-Deser-Misner(ADM)形式)が,実は数値計算に必ずしも適していないこと,及びEinstein方程式の定式化の違いで,数学的には互換であっても,数値的な安定性が変わることが次第に明らかになってきた.

    本研究の目的は,

    1. 一般相対論における数値計算を安定に行うための数学的理論を構築し数値実例を示すこと
    2. 新しい視点を持ち込んだ数値計算を行って次世代の一般相対論研究への道を開拓すること
    の2点であった.

    目的の(1)に対しては, これまでに試行錯誤的にしか行われていなかった「数値計算に 適したEinstein方程式の定式化」の研究を,数学的な背景(発展方程式の 双曲性問題,満たされるべき拘束条件式の時間発展解析)を援用して統一的に理解することを試みた. 従来のADM形式がなぜ安定性に問題があったのか,を初めて解析的に明らかにし,併せてどのように 修正すれば数値シミュレーションを長く続けることができるのかを提案した.また,広く使われている 修正ADM形式(いわゆるBSSN形式)についても,なぜこの定式化が利点を持つのかを初めて明らかにし,同時にさらに安定な数値計算が期待できる再定式化を提案した.

    我々は,一般相対論の数値計算コード(大規模並列計算コード)を新たに作成し,上記の提案を 数値的に実証することを進めている.いくつかのテスト計算では予想通りの結果が得られている. また,すでに我々の提案は世界のいくつかのグループでシミュレーションに応用され始め, その肯定的な成果が報告されている.

    上記目的の(2)に対しては,これまでの標準的なアプローチである「時空の3+1分解」とは 別の「時空の2+2分解」を用いた数値的アプローチについての提案も行った.重力波の抽出に 関して,「時空の2+2分解」に基づく新たな近似方法は,将来有用であろうという結論を 得た.また,「時空の2+2分解」数値シミュレーションコードを用いて,ワームホール時空の 安定性問題にも取り組み,負のエネルギー状態を許すならば,我々の想像を超えた「時空トラベル」 が可能になることを結論し,一部マスコミでも紹介されることになった.

    本研究を遂行したことは,世界の数値相対論グループに「定式化問題」の存在を広く正確に 認識させることに有用であった.これは,世界の各グループが, 混沌とした研究状況をまとめ,統一的な比較を行うべきだ,という機運に発展した. そこで,「定式化問題」の存在を共通な課題として世界の 各グループが共通に取り組める土台となるテスト問題を提示し,それらを 比較するプロジェクトを立ち上げることになった.我々は発起人の一人として,その プロジェクトの遂行に尽力している.


  2. 本研究課題の財源

    本研究は次の2つの研究費をもとに遂行した.

    • 理化学研究所 基礎科学特別研究員研究費

      研究課題名一般相対論における新しい数値計算手法の開発
      研究遂行者真貝寿明(理化学研究所 基礎科学特別研究員)
      研究アドバイザー戎崎俊一(理化学研究所 情報基盤研究部部長)
      研究経費
      平成13年度 1,380千円
      平成14年度 1,300千円
      平成15年度 1,300千円
      3,980千円

    • 科学研究費補助金 若手研究(B) 研究課題番号 14740179
      研究課題名一般相対論に於ける数値計算を安定化させる数学的背景の解明,及びその実証と応用
      研究組織研究代表者:真貝寿明(理化学研究所 基礎科学特別研究員)
      研究経費
      平成14年度 2,400千円
      平成15年度 600千円
      3,000千円

    研究費は主に,数値計算用のコンピュータ(並列処理用のPCクラスタ,データ処理用のPC)の購入,関連するソフトウエアの購入,海外出張,国内出張,論文掲載費,図書購入費などに使用した.

    本研究に関連した,海外渡航は以下の通り(*印は,滞在費を先方から一部補助していただいたもの):

    H13年7月 南アフリカ 第16回「重力と一般相対論」国際会議 講演
    H13年7月 南アフリカ 「数値相対論」国際研究会 講演
    H13年10月 韓国 梨花女子大学短期客員研究員*
    H14年5月 メキシコ 第1回「数値相対論のためのEinstein方程式定式化」研究会 講演
    H14年6月 アメリカ ペンシルバニア州立大学短期客員研究員*
    H14年7月 ドイツ アインシュタイン研究所短期客員研究員*
    H14年8月 フランス 「理論物理学」国際会議 講演
    H14年8月 フランス 「一般相対論におけるコーシー問題」国際研究会 出席*
    H14年10月 アメリカ カリフォルニア工科大学客員研究員*
    H15年1月 韓国 「韓国一般相対論2003年冬の学校」 講師(招待)*
    H15年6月 アメリカ 「重力物理:今後10年」国際研究会 講演
    H15年7月 オーストラリア 第5回「応用数理」国際学会 招待講演
    H15年12月 メキシコ 第2回「数値相対論のためのEinstein方程式定式化」研究会 講演


  3. 研究発表リスト

    • 書籍など
      1. Re-formulating the Einstein equations for stable numerical simulations: Formulation Problem in Numerical Relativity
        H. Shinkai, G. Yoneda (招待論文)
        For a part of the book Recent Progress in Astronomy and Astrophysics (Nova Science Publ., New York, 2004), available as http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/0209111
      2. 数値相対論における定式化問題 一般相対論における数値シミュレーションを安定化させる指針の探求
        真貝寿明 米田元 (招待論文)
        日本応用数理学会学会誌「応用数理」2004年,掲載予定
      3. Introduction to Numerical Relativity
        Four hour invited lecture at Asia-Pacific Center for Theoretical Physics Winter School on Gravitation and Cosmology (Ewha Womans University, Seoul, Korea, 2003年1月)
        H. Shinkai (招待講演)
        Lecture note is available from http://atlas.riken.jp/‾shinkai/winterAPCTP/
    • 学会誌掲載,国際会議発表
      1. Constraint propagation in the family of ADM systems
        G. Yoneda, H. Shinkai
        Physical Review D 63 (2001) 124019 (9 pages)
      2. Quasi-spherical approximation for rotating black holes
        H. Shinkai, S.A. Hayward
        Physical Review D 64 (2001) 044002 (8 pages)
      3. Adusted ADM systems and their expected stability properties: constraint propagation analysis in Schwarzschild spacetime
        H. Shinkai, G. Yoneda
        Class. Quantum Grav. 19 (2002) 1027-1049 (23 pages)
      4. Advantages of modified ADM formulation: constraint propagation analysis of Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura system
        G. Yoneda, H. Shinkai
        Physical Review D 66 (2002) 124003 (10 pages)
      5. Fate of the first traversible wormhole: black-hole collapse or inflationary expansion
        H. Shinkai, S.A. Hayward
        Physical Review D 66 (2002) 044005 (9 pages)
      6. Diagonalizability of constraint propagation matrices
        G. Yoneda, H. Shinkai
        Class. Quant Grav. 20 (2003) L31-36 (Letter, 6 pages)
      7. Toward standard testbeds for numerical relativity
        M. Alcubierre, G. Allen, C. Bona, D. Fiske, T. Goodale, F.S. Guzman, I. Hawke, S. Hawley, S. Husa, M. Koppitz, C. Lechner, D. Pollney, D. Rideout, E. Schnetter, E. Seidel, H. Shinkai, D. Shoemaker, B. Szilagyi, R. Takahashi, J. Winicour (Mexico Numerical Relativity Workshop 2002 Participants)
        Class. Quant Grav. 21 (2004) 589-613
      8. Constraint propagation in $(N+1)$-dimensional space-time
        H. Shinkai, G. Yoneda
        submitted to Gen. Rel. Grav.
      9. Quasi-spherical approximation for rotating black holes
        H. Shinkai, S.A. Hayward
        The 16th International Conference on General Relativity and Gravitation [South Africa, 2001年7月]
      10. Cosnstraint propagation in the family of ADM systems
        H. Shinkai, G. Yoneda
        The 16th International Conference on General Relativity and Gravitation [South Africa, 2001年7月]
      11. Adjusted Systems -- adding constraints in RHS
        H. Shinkai
        Workshop on Numerical Relativity 2002 [South Africa, 2001年7月]
      12. Adjusted ADM systems and their expected stability properties
        H. Shinkai, G. Yoneda
        The 11th Workshop on General Relativity and Gravitation, [Waseda Univ., 2002年1月] (Proceedings, p223-227)
      13. Systematic understanding of asymptotical stability via constraint propagation analysis --- Proposals of Adjusted ADM Systems and Adjusted BSSN Systems ---
        H. Shinkai (60 min talk)
        Formulations of Einstein Equations for Numerical Relativity [Mexico City, 2002年5月]
      14. Re-formulations of Einstein equations for stable numerical simulations
        H. Shinkai (15 min talk)
        International Conference on Theoretical Physics [Paris, UNESCO 2002年7月]
      15. Re-formulate the Einstein equations for stable numerical simulations
        H. Shinkai(招待講演)
        The 12th Workshop on General Relativity and Gravitation, [Tokyo Univ., 2002年11月] (Proceedings, p137-151)
      16. Controlling constraints in free evolution systems
        H. Shinkai (30 min talk)
        Gravitation: A Decennial Perspective, [Penn State Univ., 2003年6月]
      17. Controlling constraints in general relativity
        H. Shinkai(招待講演 at Minisymposia, ``Numerical Methods for PDEs with Cosntraints")
        The 5th International Congress on Industrial and Applied Mathematics [Sydney, Australia, 2003年7月]
      18. Gravitational Waves from merging intermmediate-mass black-holes
        H. Shinkai, T. Matsubayashi, T. Ebisuzaki (poster)
        Stellar-Mass, Intermediate-Mass, and Supermassive Black Holes, [Kyoto, 2003年10月]
      19. Constraint propagation analysis and adjusted systems
        H. Shinkai, G. Yoneda
        Numerical Relativity: Formulation Problem II, [Mexico, 2003年12月]
    • 学会誌投稿中
      1. Constraint Propagation in N+1-dimensional space-time
        H. Shinkai, G. Yoneda
        submitted to General Relativity and Gravitation (2003)
      2. Gravitational waves from inter-mediate black-hole mergers
        T. Matsubayashi, H. Shinkai, T. Ebisuzaki
        submitted to Astrophysical J. (2003)
    • 口頭発表(国内会議)
      1. Asymptotically constrained systems for Numerical Relativity
        真貝寿明
        第14回 理論天文学懇談会シンポジウム [大阪大学,2001年12月] (集録 p.93)
      2. Stability of Wormholes
        真貝寿明
        「特異点とその周辺」研究会 [大阪市立大学,2002年1月]
      3. Numerical Experiments of Adjusted Einstein equations
        真貝寿明
        第15回 理論天文学懇談会シンポジウム [国立天文台,2001年12月] (集録 p.??)
      4. Cactus as a Problem Solving Emvironment
        真貝寿明 (招待講演)
        Grid-Computing Workshop, [Fujitsu, Tokyo, January 2003]
      5. Numerical experiments of the adjusted Einstein equations
        真貝寿明
        「重力波とその周辺」研究会 [基礎物理学研究所,2003年1月]
      6. Gravitational waves from merging intermediate-mass black holes
        真貝寿明,松林達史,戎崎俊一
        第2回 DECIGO研究会 [国立天文台,2003年5月]
      7. Formulation of Einstein equations for stable numerical simulations
        真貝寿明,米田元
        日本物理学会 [立命館大学,2002年3月]
      8. Formulation of Einstein equations for stable numerical simulations: II
        米田元,真貝寿明
        日本物理学会 [立教大学,2002年9月]
      9. Fate of the traversible wormholes
        真貝寿明, S.A. Hayward
        日本物理学会 [立教大学,2002年9月]
      10. Formulation of Einstein equations for stable numerical simulations: III
        真貝寿明,米田元
        日本物理学会 [東北学院大学,2003年3月]
    • 一般誌などへの解説記事
      1. ワームホールは通過可能か? 最近のワームホール研究から
        真貝寿明
        「パリティ」(丸善) 2003年5月号
      2. 質量とエネルギー 相対論の視点から
        真貝寿明
        「数理科学」(サイエンス社)2003年12月号
      3. 先端科学辞典(丸善,2002年)
        項目:「数値相対論」「カーブラックホール」執筆
    • 書評ほか
      1. シリーズ 海外の研究室事情(16)「ペンシルバニア州立大学 重力と幾何学センター」
        真貝寿明
        日本天文学会誌「天文月報」2001年4月号
      2. 書評短評「宇宙と素粒子30講」(戸田盛和著,朝倉書店,2002)
        真貝寿明
        日本物理学会誌 2002年11月号
      3. 書評小特集「物理入門書の紹介」第2回「計算機から導く物理の教材」
        真貝寿明 山内淳
        日本物理学会誌 2003年9月号
    この他,研究業績ではないが,期間中,17本の論文の査読を担当し, 学会・研究会の座長を数回務めた. また,日本物理学会学会誌新著紹介委員を2年間担当した.
  4. 研究成果の概要

    【1】安定な数値計算を行う方法論

    一般相対論における安定な数値シミュレーションを行うための,Einstein方程式の定式化問題を研究した. Einstein方程式は,楕円型偏微分方程式の拘束条件式と双曲型の運動方程式に分解される. 我々は,時空のアトラクターが拘束面に向かうように運動方程式を Lagrange 乗数補正するアイデアを進め,この観点から現在までに行われている試行錯誤的な数値実験事例を統一的に理解でき得ることを見いだした.

    我々の理論武装は,拘束伝播方程式を併用して,拘束条件の破れを事前に 回避することであり,そのために,拘束伝播方程式のモード解析 ・固有値解析を行うことを提案した. 現在までに得られている事実は次のようである.

    • 拘束伝播方程式をみると, 元の発展方程式に本来ゼロである拘束条件式を加える操作(補正操作,adjustment) によって,拘束条件の破れの拡大・縮小具合が変化することが予測できる.
    • 拘束伝播方程式右辺の固有値解析によって,これまで標準とされてきた ADM形式が強い重力場では拘束条件の破れを増大するモードを (減少させるモードと共に)含んでいることが明らかになった.
    • 平坦な時空での摂動,という限られた場合についてだが,我々は, 何故BSSN形式がADM形式よりも数値的に安定なのか,という説明を, 拘束伝播方程式右辺の固有値解析によって明らかにした.
    • 元の発展方程式を補正することによって,拘束条件の破れを増大する モードを除去することが可能である.発展方程式の時間対称性を破る補正 を行えば,拘束条件の破れが自己収束する「漸近的拘束システム」をつくることも可能である.
    • 「漸近的拘束システム」は,ADM形式でもBSSN形式でも提案でき, いくつかの数値計算では,実際に数値的安定性が得られ,以前より長時間の シミュレーションが実現できた.米国のグループにより,我々の定式化が有効であることも独立に報告された.
    これまでのところ,我々のアプローチは成功を収めているが, より複雑な時空のダイナミクスを追うときには,一層の工夫が必要となるだろう. 事実,現在比較を進めている弱い重力波伝播の数値計算では,拘束面に近づいて いく様子が見られても最終的に再び計算が破綻してしまう例がある. 現在,固有ベクトル解析を用いた,より積極的な拘束条件の制御方法も考案中である.高次元時空での応用を視野に入れた一般論も展開した. 将来的には,「拘束面よりどれだけ離れてしまっているか」という「距離」の指標を確立し, 「補正係数の自動応答制御」を可能にするなどの前進が必要だと考えている.

    【2】 世界標準のテスト計算問題の設定と比較の実現

    我々の推進する「定式化問題」に注目が集まる中,世界の各グループが独自のテスト問題で独自の比較結果を出すことが混乱のもととも考えられるようになった.そこで,世界のいくつかの主要グループと共通で,比較計算のフォーマット(問題設定と計算方法の詳細設定)を作ることを実現した.実際の比較計算については,現在計算結果を集積して解析中であり,近い将来結果を報告できる状態である.また,比較計算設定は,2年目に入り,第2段階の問題設定に進んでおり,こちらも現在進行中である.

    【3】重力波の新たな計算手法の提案

    ブラックホールや中性子星合体の後には,回転するブラックホール(Kerr解)が形成されると考えられる.通常のADM形式で行う数値シミュレーションでは,発生する重力波波形を長時間にわたって観測者方向に積分することは難しい.この困難を補うため,我々は時空を光の進行に沿った座標系で表現し,時空回転によって発生する項を1次近似する「擬球対称近似」を提案した.この方法では,背景時空を固定しないので,線形近似よりも良い結果が期待される.我々は,Kerr厳密解を用いて,この近似から発生する誤差を評価した.結果としてこの近似は,実際の重力波評価に極めて有効であることが示唆された.

    【4】ブラックホールとワームホールの2重性問題

    Morris-Thorneによって提起された通過可能なワームホールという研究テーマは,SF的な興味から広く紹介されているが,理論相対論研究という観点からは,時空のエネルギー条件についての理解に結びついている.我々は,これまで計算の都合上,静的なものとして扱われてきたワームホール解を,数値シミュレ ーションを用いてその動的な性質を初めて明らかにした.その結果,Morris-Thorneワームホールは不安定解であり,正(負)のエネルギー物質が通過するとワームホール自体はブラックホール(インフレーション的膨張領域)に転移することを示した.ただし,ブラックホールに変化する以前に再び負のエネルギーの物質を投入することでワームホールは維持でき,旅行者も無事に通り抜けられることも示した.本研究は,ブラックホールのホライズン構造の分岐・統合を示した初めてのシミュレーションであり,今後ワームホールとブラックホールの双対性研究を加速させると期待される.ここでの数値計算は,ヌル座標を用いており,今後のブラックホールの取り扱いなどで役立つ技法も習得した.

    【5】中間質量ブラックホールの合体で放出される重力波の評価

    太陽質量の100倍から1000倍程度の(中間質量)ブラックホールが発見され,銀河中心の大質量ブラックホール形成モデルに,ボトムアップ的なシナリオが現実的になった.これらの中間質量ブラックホールの合体時に放出される重力波の情報から,宇宙の銀河分布と大質量ブラックホール形成過程が決定できうることを,簡単なモデルを設定して議論した.本研究結果は,将来計画されている宇宙空間重力波干渉計の観測目的として,非常に魅力的なものであると考えられる.


  5. 研究成果の詳細

    研究成果の詳細はすでに学会誌などに掲載されている論文や掲載予定の論文に述べられているので, ここにそれらを収録する. (研究期間以前の成果で本研究に非常に関連のある論文2編も併せて収録した.)
    PDF版
    Hyperbolic formulations and numerical relativity : Experiments using Ashtekar's connection variables
    by H. Shinkai, G. Yoneda
    24 pages
    Hyperbolic formulations and numerical relativity II : Asymptotically constrained systems of Einstein equations
    by G. Yoneda, H. Shinkai
    22 pages
    Constraint propagation in the family of ADM systems
    by G. Yoneda, H. Shinkai
    9 pages
    Quasi-spherical approximation for rotating black holes
    by H. Shinkai, S.A. Hayward
    8 pages
    Adusted ADM systems and their expected stability properties: constraint propagation analysis in Schwarzschild spacetime
    by H. Shinkai, G. Yoneda
    23 pages
    Advantages of modified ADM formulation: constraint propagation analysis of Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura system
    by G. Yoneda, H. Shinkai
    10 pages
    Fate of the first traversible wormhole: black-hole collapse or inflationary expansion
    by H. Shinkai, S.A. Hayward
    9 pages
    Diagonalizability of constraint propagation matrices
    by G. Yoneda, H. Shinkai
    6 pages
    Toward standard testbeds for numerical relativity
    by M. Alcubierre, G. Allen, C. Bona, D. Fiske, T. Goodale, F.S. Guzman, I. Hawke, S. Hawley, S. Husa, M. Koppitz, C. Lechner, D. Pollney, D. Rideout, E. Schnetter, E. Seidel, H. Shinkai, D. Shoemaker, B. Szilagyi, R. Takahashi, J. Winicour (Mexico Numerical Relativity Workshop 2002 Participants)
    25 pages
    Constraint propagation in (N+1)-dimensional space-time
    by H. Shinkai, G. Yoneda
    4 pages
    Re-formulating the Einstein equations for stable numerical simulations: Formulation Problem in Numerical Relativity
    by H. Shinkai, G. Yoneda
    50 pages
    数値相対論における定式化問題
    by 真貝寿明, 米田元
    23 pages
    Gravitational waves from inter-mediate black-hole mergers
    by T. Matsubayashi, H. Shinkai, T. Ebisuzaki
    N/A
    Introduction to Numerical Relativity
    by H. Shinkai
    43 pages


    Last updated: 2003/12/16