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研究成果報告書

高次元時空における時空特異点形成条件の解明

Numerical Investigations of Singularities in Higher-Dimensional Space-time

平成22年度--25年度　科学研究費補助金　基盤研究(C)　研究課題番号 22540293

平成23年(2011年)　4月　[初年度の研究成果報告]
平成24年(2012年)　4月　[第2年度の研究成果報告　追記]
平成25年(2013年)　4月　[第3年度の研究成果報告　追記]
平成26年(2014年)　4月　[第4年度の研究成果報告　追記]

真貝寿明　Hisaaki Shinkai

大阪工業大学情報科学部　教授

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１．研究成果の概要
２．研究開始当初の背景
３．研究の目的
４．研究の方法
５．研究の成果
６．研究成果の詳細（2010年度から2013年度）
７．研究発表リスト（2010年度から2013年度）

１．研究成果の概要

高次元時空における時空特異点やブラックホールの形成条件を数値的手段を用いて，その手法も含めて研究した．重力崩壊のシミュレーションから，(1) 高次元時空では，重力の伝播する自由度が大きくなることから，4次元時空の時よりも崩壊は迅速になり，物質分布形状も球対称に近づくように進むこと，(2) 初期形状が極端に長い場合には，裸の特異点が出現する傾向になるが，ブラックホール地平面の形成条件も高次元では緩められること，(3) リング形状のブラックホールが形成されたり，地平面トポロジーが変化することが確かめられた．また，摂動解析により，(4) ワームホール解は次元によらず不安定であることがわかった．

We investigated formation process of singularities and/or black holes in higher-dimensional space-time using numerical simulations. From the analysis of gravitational collapses, we find (1) the collapse proceeds faster and the collapsing matter's configuration approaches more spherical, since gravity propagates with more freedom in higher-dimensional space-time; (2) if matter is in highly spindle shape, then the time evolution results in the formation of naked singularities, but the critical configuration is loosend compared with 4-dimensional cases; (3) the process of black-ring formation together with the topology change of the apparent horizon, for gravitational collapse of ring-shaped matter. From the perturbation analysis, we also find Ellis-type wormhole solutions are unstable in any dimensional space-time. The research also includes the proposals of formulation of the Einstein equations which is robust against constraint violations during time integrations.

２．研究開始当初の背景

　「5次元以上の高次元中に我々の4次元空間が膜のように存在する」という ブレインモデルが1998年に提案され，これまでに我々が描いていた宇宙描像にまったく新しい可能性が登場した． もともと高次元時空の存在は，超弦理論の展開の中で使われていた数学的な概念であったが， 古典的な重力理論の範囲内でも高次元時空の振る舞いを解析する研究が加速する契機となった．

　古くから知られている「4次元空間での常識」として，一般相対性理論が描くブラックホール解の 定常解は，軸対称のKerr解であることが知られていた．ところが， 一般相対性理論を高次元に拡張し，ブラックホールの厳密解の研究が進められると， 解として許されるトポロジーが広がることや 多様な漸近的時空構造を考え得ることが示されるようになった．高次元時空では これまでの知見では予想できない物理学が待ち構えていたのである．

　そのような状況においても，本質的に興味が持たれるブラックホールの形成条件や 安定性・あるいは裸の特異点形成など動力学的な研究は，数値的な手段に頼らざるを得ず， 敷居が高いこともあって，ほとんど着手されていない状況であった．

　時空特異点・ブラックホールの形成問題は， 非線形な重力の特徴が見られる興味深い現象であり，場の理論からの予言・ LHC加速器実験の開始・ 宇宙現象からの観測的制限も併せ，単にアカデミックな興味に終わらない物理的 対象となってきている．

　我々は，ブレインモデルの提唱された直後に，5次元球対称時空での 数値シミュレーションを実現した実績がある [H. Shinkai, T. Shiromizu, Physical Review D 62, 024010 (2000); A. Chamblin, H. S. Reall, H. Shinkai ¥& T. Shiromizu, Physical Review D 63, 064015 (2001)] が，本研究開始時に， それ以上の動的な時空研究はなされていなかった．そこで， 本研究では，5次元時空でのブラックホール形成条件を明らかにすることを目的に， その数値計算手法も含めて取り組む計画を立てた．

３．研究の目的

具体的には，次の2つの研究テーマに取り組んだ．
  1. 数値解析に最適なEinstein方程式の定式化の実証と汎用化
    Einstein方程式の 発展方程式には拘束条件（ゼロとなる項）を足す自由度が存在し， その補正によって，数値的に安定性が変わる，というのが申請者らが示した事実である． 申請者らは，固有値解析に基づき，代替となる新しい定式化を複数提案し，すでに モデル計算でそれらの有効性を確認している [H. Shinkai, J. Korean Phys. Soc. 54, 2513 (2009) (arXiv:0805.0068) 他] が，本研究では， Lagrange乗数の決定過程に新たなアイデアを取り入れて，重力波伝播などの具体的な問題で検証する．
  2. 高次元時空における時空特異点形成条件の解明
    ５次元以上の時空では，リング形状のブラックホール解など，多様なトポロジーのブラックホール解 が許されることが指摘されているが，安定性や形成条件の多くは不明である． 本研究ではまず，物質分布を粒子法で表す数値コードを開発し， 1991年にShapiro-Teukolsky が示した裸の特異点発生の数値計算結果の，高次元での 検証を行う． そして，次に，リング形状のブラックホールが動的な過程でできるかどうかの数値実験を行う．
    　また，異なる特異点の様相を見せることがわかっているワームホールの動的振る舞いについても，高次元時空での 安定性を中心に研究した．

４．研究の方法

2010年度に，5次元時空での初期値を構成するコード開発・ブラックホール地平面(apparent horizon)を特定するコード開発から着手し，次年度には一般相対論的ダイナミクスを追うことのできるコードを開発し，重力崩壊現象について，4次元時空との比較を行った．2012年度には， トーラス状に物質を初期配置して重力崩壊現象を試みた．一連の研究は，研究代表者と大阪工業大学大学院生・山田祐太で進めた．

2010年度から同時に，安定な数値計算手法に関して，新たな定式化も進めた．Fiskeによって提案された，運動方程式に拘束条件の2乗の汎関数微分項を加えるアイデアを，一般相対性理論の標準的な時空分解であるArnowitt-Deser-Misner (ADM)形式と，その改良版であるBaumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura (BSSN) 形式とに順次応用した． 一連の研究は，研究代表者と早稲田大学大学院生・土屋拓也，早稲田大学教授・米田元とで進めた．

2012年度からは，高次元時空でのワームホールの動的振る舞いの研究に着手した．将来的に超弦理論を由来にするGauss-Bonnet重力理論（拡張重力理論）におけるダイナミクス研究に着手することも念頭に，基礎方程式の導出や摂動解析と数値コード開発を行った．一連の研究は，研究代表者と大阪工業大学准教授・鳥居隆で進めた．

５．研究の成果

  1. 5次元時空でのブラックホール形成（初期条件としての解析）
    5次元時空に物質を分布させたとき，どのように時空が歪み，どのような条件でブラックホール地平面(apparent horizon)が現れるかどうかを，Einstein方程式の初期値設定問題として明らかにした[論文 1]．
    　軸対称時空を仮定し，物質をスピンドル形状に分布させると，その物質密度の大きさや分布形状によってブラックホール地平面が現れたり，現れずに裸の特異点となる可能性が確認された．また，リング状に分布させると，分布の半径が小さいときには全体を囲むような1つのブラックホールが形成されるが，分布半径が大きい時にはいわゆるブラックリングが形成することが確認された．
    　ブラックホール形成条件に対して， Nakamura, Shapiro & Teukolsky [Phys. Rev. D. 38, 2972 (1988)]の解析を拡張し，「フープ仮説」の5次元版を検証した．その結果，(a) 半径を基準とするフープではなく，表面積を基準とするフープであれば5次元ブラックホール形成の判定ができること，(b) ブラックリング形成には，フープ仮説が適用できないこと，がわかった．
  2. 5次元時空での時空特異点形成
    5次元軸対称時空でのダイナミクスを追う数値コードを作成し，上記で得られた時空を時間発展させて，予想が正しいかどうかを検証した．4次元の場合には， Shapiro & Teukolsky [Phys. Rev. Lett. 66, 994 (1991)]によって，裸の特異点が形成した，という報告がある．我々は彼らの結果を再現するとともに，次元の違いによる比較を行った．
    　高次元になると，重力の伝播する自由度が大きくなることから，(a)重力崩壊はより迅速に，(b)より球対称形状に進むことがわかった．また，スピンドル形状が極端に長い場合には，ブラックホール地平面が形成せず，(c)裸の特異点が出現する傾向も確かめられたが，(d) 5次元時空では地平面の形成条件も4次元よりもゆるいものであることが分かった[論文 2]．
  3. 5次元時空でのブラックリング形成
    5次元軸対称時空で物質をリング形状に配置し，時間発展を行った． 実際にリング状の地平面が出現するかどうかが焦点であったが， 物質が回転をもたない場合，トーラス形状の地平面（ブラックリング）が形成され，その後 球状の地平面に変化する「地平面のトポロジー・チェンジ」が確認された．
    　また， 物質が回転エネルギーを持つ場合（双方向回転の場合）を含めて扱えるように計算コードを改良したところ， リング形状の地平面のまま，ほぼ定常に保たれる場合が発見された．これらの結果は予想の範囲内ではあるが， 知られている厳密解と回転則こそ異なるが，ブラックリング解が形成できたことになり，これまでに得られていない結果でもある． ブラックリング解の安定性を解明するためには，より一層長時間積分を行う必要があり，座標条件等の工夫が必要であることがわかった[論文 5]．
  4. 数値解析に適したEinstein方程式の定式化
    安定な数値計算手法に関して，新たな定式化を行い，その有効性を確認した．Fiske [Phys. Rev. D 69, 047501 (2004)]によって提案された，運動方程式に拘束条件の2乗の汎関数微分項を加えるアイデアを，Einstein方程式の時間発展方法としてもっとも基本的なADM形式に適用した[論文 3]．さらに，現在世界的に標準となっているBSSN形式の方程式にも適用した[論文 4]． 我々は，Lagrange乗数の自由度を用いて拘束面をアトラクターとする定式化について，一連の研究を展開しているが，その１つとして，利点や難点を明らかにした．
  5. N次元時空でのワームホールの安定性
    ワームホールは，理論上の天体であるが，その動的振る舞いについては 比較的新しいトピックである．4次元Einstein時空でのワームホール（Ellis解）は不安定であり，エネルギー的なバランスが崩れることによってブラックホールやスロート膨張する [H. Shinkai and S. A. Hayward, Phys. Rev. D 66, 044005 (2002).]．我々はこの研究を高次元に拡張することを試みた．
    　まず，一般N次元空間でEllis型のワームホール解を導いた．次に摂動計算によって， 必ず不安定モードが存在することを明らかにした[論文 6]． さらに，光座標を用いた数値コードを用いて時間発展を行い，予想通りに不安定であることを示した．また，この解をGauss-Bonnet重力理論の補正項を入れた発展方程式で時間発展させ，補正項の影響を明らかにした． これらの結果は，現在論文執筆中である．

６．研究成果の詳細

PDF版
査読付論文誌掲載 Black objects and hoop conjecture in five-dimensional space-time
by Y. Yamada and H. Shinkai
Class. Quantum Grav. 27 (2010) 045012 (15 pages) 		15 pages [1]
査読付論文誌掲載 Formation of naked singularities in five-dimensional space-time
by Y. Yamada and H. Shinkai
Physical Review D. 83, 064006 (2011) (5 pages) 		5 pages [2]
査読付論文誌掲載 Constraint propagation of $C^2$-adjusted formulation -- Another recipe for robust ADM evolution system --
by T. Tsuchiya, G. Yoneda, H. Shinkai
Physical Review D. 83, 064032 (2011) (10 pages) 		10 pages [3]
査読付論文誌掲載 Constraint propagation of $C^2$-adjusted formulation II. -- Another recipe for robust BSSN evolution system --
by T. Tsuchiya, G. Yoneda, H. Shinkai
Physical Review D 85, 044018 (2012) (12 pages) 		12 pages [4]
査読付論文誌掲載 Numerical Investigation of Five-dimensional Gravitational Collapses
by H. Shinkai and Y. Yamada
Int. J. Mod. Phys. Conf. Ser. 7 (2012) pp. 148-157 		10 pages (pdf) [5]
査読付論文誌掲載 Wormholes in higher dimensional space-time: Exact solutions and their linear stability analysis
by T.Torii, and H. Shinkai
Physical Review D 88, 064027 (2013) (6 pages) 		6 pages (pdf) [6]
国際会議集録原稿 Black Objects and Hoop Conjectue in Five-dimensional Space-time
by H. Shinkai and Y. Yamada
The 19th International Conference on General Relativity and Gravitation, Mexico City, Mexico, 2010年7月 		5 pages
国際会議集録原稿 Constraint Propagation of $C^2$-adjusted Equations
by H. Shinkai, T. Tsuchiya and Y. Yamada
The 19th International Conference on General Relativity and Gravitation, Mexico City, Mexico, 2010年7月 		5 pages
国際会議集録原稿 Black Objects and Hoop Conjectue in Five-dimensional Space-time
by Y. Yamada and H. Shinkai
The 20th Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG20)，京都大学， 2010年9月 		4 pages
国際会議集録原稿 Gravitational collapse of ring objects in five-dimensional space-time
by Y. Yamada and H. Shinkai
The 21th Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG21)，東北大学， 2011年9月 		4 pages
国際会議集録原稿 Constraint propagation and constraint-damping in the C^2-adjusted formulation
by Takuya Tsuchiya, Gen Yoneda and Hisa-aki Shinkai
The 21th Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG21)，東北大学， 2011年9月 		4 pages
国際会議集録原稿 Numerical Study of Five-dimensional Gravitational Collapses
by Y. Yamada and H. Shinkai
The 13th Marcel Grossmann Meeting，Stockholm, Sweden， 2012年7月 		7 pages
国際会議集録原稿 Numerical Study of Five-dimensional Gravitational Collapses
by Y. Yamada and H. Shinkai
RESCEU Symposium On General Relativity and Gravitation (JGRG22)，東京大学， 2012年11月 		7 pages
国際会議集録原稿 Wormhole evolutions in higher-dimensional gravity
by H. Shinkai and T. Torii
RESCEU Symposium On General Relativity and Gravitation (JGRG22)，東京大学， 2012年11月 		7 pages
国際会議集録原稿 Wormholes in higher dimensional space-time: Dynamics
by H. Shinkai and T. Torii
The 23th Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG23)，弘前大学， 2013年11月 		1 page

７．研究発表リスト（2010年度から2013年度）

  1. H. Shinkai and Y. Yamada
    Black Objects and Hoop Conjectue in Five-dimensional Space-time
    The 19th International Conference on General Relativity and Gravitation, Mexico City, Mexico, 2010年7月
  2. H. Shinkai, T. Tsuchiya, G. Yoneda
    Constraint Propagation of $C^2$-adjusted Equations
    The 19th International Conference on General Relativity and Gravitation, Mexico City, Mexico, 2010年7月
  3. 土屋拓也，米田元，真貝寿明
    Constraint Propagation of $C^2$-adjusted BSSN Equations
    日本応用数理学会，明治大学，2010年9月
  4. 山田祐太，真貝寿明
    5次元ブラックリング形状の時間発展数値解析 (II)
    日本物理学会，九州工業大学，2010年9月
  5. Yuta Yamada, Hisa-aki Shinkai
    Gravitational Collapse in Five-dimensional Spacetime
    The 20th Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG20)，京都大学， 2010年9月
  6. Yuta Yamada, Hisa-aki Shinkai
    Gravitational Collapse in Five-dimensional Spacetime
    International Conference on Particle Physics and Cosmology (COSMO), and International Symposium on Cosmology and Particle Astrophysics (CosPA 2010)，東京大学，2010年9月
  7. Hisa-aki Shinkai
    Gravitational Collapse in Five-dimensional Spacetime
    2011 Shanghai Asia-Pacific School and Workshop on Gravitation，上海師範大学，中国， 2011年2月
  8. 山田祐太，真貝寿明
    5次元時空における重力崩壊と裸の特異点形成
    日本物理学会，新潟大学， 2011年3月
  9. 山田祐太，真貝寿明
    5次元ブラックリングとフープ仮説
    日本物理学会，弘前大学， 2011年9月
  10. Yuta Yamada, Hisa-aki Shinkai
    Gravitational collapse of ring objects in five-dimensional space-time
    The 21st workshop on General Relativity and Gravitation in Japan (JGRG21) 東北大学，2011年9月
  11. Takuya Tsuchiya, Gen Yoneda, Hisa-aki Shinkai
    Constraint propagation and constraint-damping in the C2-adjusted formulation
    The 21st workshop on General Relativity and Gravitation in Japan (JGRG21) 東北大学，2011年9月
  12. 山田祐太，真貝寿明
    5次元重力崩壊 -回転対称性と角運動量の効果-
    第24回理論懇シンポジウム 「理論天文学・宇宙物理学の革新」，国立天文台，2011年11月
  13. Yuta Yamada, Hisa-aki Shinkai
    Gravitational collapse in five-dimensional space-time
    The 2nd AICS International Symposium，理化学研究所神戸，2012年3月
  14. 山田祐太，真貝寿明
    5次元重力崩壊 -回転対称性と角運動量の効果-
    日本物理学会，関西学院大学，2012年3月
  15. Yuta Yamada, Hisa-aki Shinkai
    Numerical Study of 5-dimensional Gravitational Collapses
    The 13th Marcel Grossmann Meeting, (Stockholm, Sweden)，2012年7月
  16. Hisa-aki Shinkai
    Wormhole Dynamics
    The workshop on theories and possibilities of observations of wormholes，立教大学，2012年10月
  17. Yuta Yamada, Hisa-aki Shinkai
    Numerical Study of 5-dimensional Gravitational Collapses
    RESCEU Symposium On General Relativity and Gravitation (JGRG22)，東京大学，2012年11月
  18. Hisa-aki Shinkai, Takashi Torii
    Wormhole dynamics in Gauss-Bonnet gravity
    RESCEU Symposium On General Relativity and Gravitation (JGRG22)，東京大学，2012年11月
  19. 真貝寿明，鳥居隆
    Wormhole dynamics in Gauss-Bonnet gravity
    日本物理学会，広島大学，2013年3月
  20. Hisa-aki Shinkai, Takashi Torii
    Wormhole evolutions in higher-dimensional gravity
    The 20th International Conference on General Relativity and Gravitation，(Warsaw, Poland)，2013年7月
  21. Takashi Torii, Hisa-aki Shinkai
    Wormhole solutions in higher dimensional space-time and their linear stability analysis
    The 23st workshop on General Relativity and Gravitation in Japan (JGRG23) 弘前大学，2013年11月
  22. Hisa-aki Shinkai, Takashi Torii
    Wormholes in higher dimensional space-time: Dynamics
    The 23st workshop on General Relativity and Gravitation in Japan (JGRG23) 弘前大学，2013年11月
  23. 真貝寿明，鳥居隆
    Wormholes in higher-dimensional gravity: Effects of Gauss-Bonnet gravity
    第26回理論懇シンポジウム 「2020年代を見据えた理論宇宙物理・天文学」，東京大学，2013年12月
  24. 真貝寿明，鳥居隆
    ワームホールの不安定性
    日本天文学会，国際基督教大学，2014年3月
  25. 鳥居隆，真貝寿明
    高次元ワームホールの安定性：線形摂動と時間発展数値解析
    日本物理学会，東海大学，2014年3月

Last updated: 2014/5/10
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